Una introducción informal a la Lógica de Proposiciones

La Lógica es la ciencia que se ocupa del estudio de los métodos y los principios indispensables para distinguir el razonamiento correcto del razonamiento incorrecto, mediante un lenguaje, con su vocabulario, sintaxis y semántica, entendiendo como razonamiento, el proceso de organizar y estructurar ideas que permitan llegar a una conclusión.

Desarrollada originalmente por Aristóteles, en torno al siglo IV A.D.C. para proporcionar criterios objetivos de discernimiento en las discusiones filosóficas. Se origina como una lógica bivalente, de verdadero o falso, pero no las dos a la vez (principio de no contradicción) y todo es o verdadero o falso (principio del tercio excluido). Durante la edad media, en Europa  recibe aportes de grandes pensadores.  En el siglo XIX George Boole en su libro “Las leyes del Pensamiento” convierte la lógica en un cálculo simbólico análogo al Algebra ampliando el ámbito de las matemáticas al  incorporar el razonamiento  entre sus temas de su interés (que hasta la fecha eran los números, funciones, etc.). Durante el siglo XIX, otros grandes matemáticos hicieron importantes aportes a la lógica de Boole; se desarrolla el “Algebra de Boole”

Antes de Boole, la lógica expresaba los razonamientos en un lenguaje natural, el mismo que utilizamos para comunicarnos en la vida diaria. Pero, tanto la gran capacidad expresiva del lenguaje natural como la ambigüedad de muchas de sus expresiones (significados diferentes dependiendo del contexto), no lo hacen la herramienta ideal para el razonamiento lógico riguroso. La lógica de Boole recurre al uso de lenguajes formales específicos, para ser más eficaz en la representación del razonamiento.

Se entiende como razonamiento formal  una secuencia de información formulada en un lenguaje formal sin ambigüedades y formulada en dos partes diferenciadas. Una primera parte (premisa del razonamiento) que es la formulación de conocimiento o información que se acepta como válida y una segunda parte (consecuencia del razonamiento) que es la formulación de conocimiento cuya validez se sigue lógicamente de la validez de la primera parte de una manera automática.

Con la publicación de dos artículos alrededor del año 1937, Claude E. Shannon, dio a conocer la, actualmente más importante aplicación de la lógica Booleana, mostrando que las propiedades básicas de combinaciones serie-paralelo  de dispositivos biestables, podrían representarse adecuadamente mediante esta álgebra.  Desde entonces el Algebra Booleana ha tenido un papel importante en la complicada tarea de diseñar circuitos digitales, dispositivos de control automático y computadores electrónicos.  Actualmente hay más interés en esta aplicación que en cualquiera de las otras.

El trabajo desarrollado por Boole significó el fin de la lógica aristotélica y el comienzo de la lógica formal matemática contemporánea. La orientación matemática de Boole dio como resultado un sistema algebraico en el que se definen ciertas operaciones sobre variables abstractas que deben cumplir propiedades bien definidas. Es conveniente tener presente el álgebra que se estudia en la secundaria, ya que nos puede servir de orientación al tener ambas en común operaciones, variables y propiedades. Las operaciones del álgebra tradicional son suma, multiplicación, etc. sus propiedades la conmutatividad, asociatividad, etc. Elementos equivalentes que serán definidos, más adelante, en el álgebra de Boole.

El lenguaje (leguaje natural  humano, tal como el Castellano), es una notable y eficiente forma de comunicación. Lo mejor de nuestro conocimiento, nuestros ancestros adquirieron la habilidad de usar el lenguaje hace más de 100.000 años, lo que, en términos de la evolución, es relativamente reciente. Mucho de la eficiencia del lenguaje viene de una característica de éste que, en lingüística, se denomina indicidad (o indexicalidad). Esto quiere decir  que el significado de las cosas que decimos o escribimos, depende tanto del contexto en el cual lo decimos o escribimos,  como del contexto en el cual aquello que decimos o escribimos, es oído o leído.

Por ejemplo,  si yo digo “estoy aburrido” significa que yo, quien está escribiendo este documento, en este momento, estoy aburrido, pero,  si la misma frase la dice usted que está leyendo, significa algo diferente, significa que usted está aburrido. Para otro ejemplo tome la palabra “pequeño”. Su significado en la frase “roedor pequeño” es diferente a “elefante pequeño”. Para mucha gente un elefante pequeño no es precisamente un animal pequeño. La palabra “ahora” se refiere a un marco de tiempo que incluye el momento en que se pronuncia la palabra. “Meses de verano” significan Diciembre, Enero y Febrero en el hemisferio Sur y Junio, Julio y Agosto para el hemisferio Norte. La indexicalidad (la dependencia del contexto, que tiene el lenguaje, para determinar el significado), es lo que hace posible que una relativamente pequeña cantidad de palabras, nos habilite para hablar de un mucho mayor rango de tópicos.

Para ejemplos de cómo el contexto afecta el significado en situaciones más complejas, considerar los siguientes ejemplos de sentencias ambiguas donde el significado depende del contexto.

• El hombre observó a la mujer con un telescopio.
• El jefe dice que el bus debería detenerse.
• Los dos hermanos se encontraron después de 10 años en el terminal de Bus.
• El ventisquero está retrocediendo tal vez a causa del calentamiento global.
• El camino está bloqueado, la policía investiga que está pasando.
• Se cayó y nadie vino en su ayuda.

La indexicalidad del lenguaje, mientras es de gran utilidad en la comunicación diaria  y, como lo muestran los ejemplos anteriores, ocasionalmente fuente de diversión, puede ser problemático cuando se lo usa para hablar o escribir de matemáticas. Las sentencias matemáticas, se supone, tienen un único significado independiente del contexto.

Lo dicho anteriormente no es más que una muy pequeña muestra de los inconvenientes del lenguaje natural (en nuestro caso el castellano), para expresar conceptos en matemáticas y lógica. Es por ello que,  en matemáticas y en ciencias en general, se han definido lenguajes artificiales, diseñados con un propósito específico, llamados lenguajes formales que permiten “traducir” frases en castellano a una forma más adecuada a los propósitos de cada disciplina. Un lenguaje formal define y especifica sus propios símbolos y reglas para unir dichos símbolos de manera formal, permitiendo expresar ideas en términos precisos, carentes de ambigüedades y de contenido emotivo.

Por ejemplo, veamos un tema que todos conocemos desde la secundaria y que nos va a permitir “dar luces” de lo que queremos expresar con lenguajes formales, se trata de la aritmética. Cuando, en la enseñanza básica (o media), nos enseñan a resolver  problemas de matemáticas  no nos dicen que vamos a aprender un lenguaje formal, pero, en el fondo, es eso lo que está pasando.

Veamos un ejemplo práctico. Supongamos que se nos presenta el siguiente problema descrito en nuestro lenguaje (el castellano).

Problema

Si al número treinta le sumamos la mitad y, al resultado, lo multiplicamos por dos ¿cuál es el resultado?

Por supuesto es un problema muy simple y podrían resolverlo mentalmente, pero supongamos que no es el caso y tenemos que escribir para resolverlo. Lo tenemos que traducir al lenguaje aritmético lo que nos da como resultado:

$$2 \times \left( {30 + \frac{{30}}{2}} \right) = 2 \times \left( {30 + 15} \right) = 2 \times 45 = 90$$

Lo mismo que está descrito en castellano lo hemos escrito con otros símbolos, los símbolos de la aritmética (o del álgebra). Es el lenguaje formal del álgebra. Este lenguaje tiene sus propios símbolos, que no pertenecen al castellano; los números (Naturales, enteros, reales, etc.), los signos de suma, multiplicación división, etc. y tiene sus propias reglas, la regla de la suma de dos números, la regla de multiplicación, etc. Existen otras reglas que tenemos impresas en nuestro cerebro, aun cuando no somos conscientes de ello, por ejemplo, si nos piden que escribamos “tres más dos”, lo que hacemos, 3+2 y no +32, porque +32 no es la “forma” como se escribe la suma; está definida como “3+2” y no “+32” (por lo demás, no se entiende que es “+32”).

Bien, con este breve y simple ejemplo se ha intentado mostrar la diferencia entre el lenguaje natural y lenguaje formal. Evidentemente que no se ha definido el lenguaje formal del algebra sino se ha puesto en evidencia la existencia de símbolos y reglas diferentes que le pertenecen de forma exclusiva.

La lógica Proposicional (en adelante LP), también tiene su propio lenguaje formal, que ha sido concebido para destacar la estructura lógica de las afirmaciones y razonamientos proferidos en el lenguaje natural. La LP tiene sus propios símbolos y reglas y son completamente diferentes a las del álgebra. El equivalente de los números del álgebra son las proposiciones en LP (de ahí su nombre). Con las proposiciones se realizan operaciones (que definiremos más adelante), como en álgebra se realizan sumas o multiplicación. Ejemplos de proposiciones escritas en lenguaje natural (castellano) son las siguientes:

• El pasto está verde.
• El sistema operativo de mi computador es Windows
• El perro tiene cuatro patas
• Santiago es la capital de Chile

Como se aprecia, las proposiciones son frases, aseveraciones, enunciados, pero, como veremos más adelante, no cualquier frase, aseveración o enunciado es una proposición. Una proposición debe cumplir ciertas reglas. Nótese que los cuatro ejemplos anteriores, como se señaló, están escritos en castellano, de la misma forma que para el álgebra escribimos los números tres,  cuatro, cuenta, etc.  también en castellano y que traducidos al lenguaje del álgebra se escriben 3, 4, 50. En LP, también existen símbolos para representar las proposiciones, para prescindir de escribirlas en castellano, los que describiremos en su oportunidad.

Y, al igual que en álgebra, en LP también existen símbolos especiales para representar las operaciones que se realizan con las proposiciones; algunos de estos símbolos, que describiremos en lo que sigue son:

Estos son símbolos usados para modificar o combinar proposiciones para formar otras proposiciones más complejas, palabras tales como “y”,  “o”  y  “no”, denominadas respectivamente: Conjunción. Disyunción y Negación.

Las proposiciones son la base del LP y, en lo que sigue, las proposiciones que usaremos en los ejemplos no serán, en principio, analizadas ni cuestionadas. En un apartado posterior, las trataremos en detalle.

Desafortunadamente para el principiante, el uso en matemáticas de algunas de estas palabras, no es lo mismo, que el uso no-matemático diario. Pero, no hay mayor problema con la primera palabra a considerar, esta es:

“y”

Necesitamos ser capaces de afirmar que dos eventos se suceden simultáneamente. Por ejemplo podemos querer decir que el número “pi” (\(\pi \)),es mayor que tres y menor tres coma dos.  Aquí la palabra “y” es indispensable.  En matemáticas, con el objeto de lograr una expresión completamente simbólica, se utiliza una abreviatura para “y”; las más comunes son: " \(\wedge \,\,\,,\,\,\,\& \)" (usaremos en adelante \( \wedge \) ).

Entonces la expresión en lenguaje natural:

“el número pi, es mayor que tres y menor tres coma dos”

en lenguaje formal es:

$$\left( {\pi > 3} \right) \wedge \left( {\pi < 3.2} \right)$$

En otras palabras \(\pi \) está entre 3 y 3.2.  No hay posible fuente de confusión cuando usamos la palabra “y”.

Si, a \( (\pi>3)\) le damos el nombre de "p", y lo escribimos \(  (\pi > 3) \) y a \( (\pi<3.2)\) le damos el nombre de "q", es decir q:  \(\pi < 3,2 \), podemos escribir:

\( (p \wedge q) \) en vez de \(  \ ( pi>3 )\wedge ( \pi<3.2 ) \)

En general si  son dos  sentencias matemáticas cualesquiera, entonces

$$  p \wedge q  $$

Es la aseveración conjunta (la cual puede o no ser una aseveración verdadera), de ambas.

Nota 1:

Algo importante que destacar es que, en matemáticas, “y”  es independiente del orden de las aseveraciones; \( p \wedge q \) significa lo mismo que \( q \wedge p \). Esto no es siempre es verdad cuando usamos el "y" en la vida diaria. Por ejemplo la aseveración:

Luis lanzó el tiro libre y el balón cayó en la red.

No significa lo mismo que:

El balón cayó en la red y Luis lanzó el tiro libre.

Para escribir en lenguaje matemático (o lenguaje lógico), la aseveración  anterior

Luis lanzó el tiro libre y el balón cayó en la red.

Hacemos:

\[\left. \begin{array}{l}
p:{\rm{Luis\,\,lanzo\,\,el\,\,tiro\,\,libre}}\,\,\,\\
q:{\rm{El\,\,balon\,\,cayo\,\,en\,\,la\,\,red}}\,
\end{array} \right\}\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{y}}\,\,\,\,{\rm{podemos\,\,escribir}}\,\,\,\,\,\left( {p \wedge q} \right)\]

Esto nos permite “olvidarnos”  del orden, ya que lo que interesa en lógica es la simultaneidad de p y q.

Nota 2.

Nótese que utilizamos las mismas letras p y q para nombrar las expresiones matemáticas (que se acostumbran a usar) y las aseveraciones en lenguaje natural. Esto se puede hacer porque ambas situaciones están en distintos contextos por lo que no hay posible confusión. Si estuvieran en el mismo contexto, entonces se debe utilizar otras letras como por ejemplo r,  s,  t,   etc.

Lo que hemos hecho, al asignar las letras p y q a las aseveraciones  “Luis lanzó el tiro libre”   y “el balón cayó en la red”, se denomina en lógica formalizar , que no es otra cosa que “traducir” expresiones en lenguaje natural a lenguaje de la lógica.

Definición Proposición.

Una proposición  es una agrupación de palabras con sentido, una frase, una oración, un enunciado cuya verdad o falsedad puede ser verificada. Una proposición puede ser verdadera o falsa pero, no ambas a la vez.

Ejemplos de proposiciones:

p₁: Los perros son amistosos

p₂: Las ovejas tienen lana

p₃: Los peces nadan

p₄: Hoy beberé sidra real

p₅: Punta Arenas es la capital de Magallanes

p₆: Cerro sombrero es un campamento de Enap

p₇: Puerto Natales se encuentra en la costa suroriental del seno Ultima Esperanza.

p₈: Tierra del Fuego está en Chiloé

p₉: El cóndor es un ave carroñera.

p₁₀: En el rio Serrano hay salmones.

p₁₁: El lago Sarmiento está a los pies de las Torres del Paine

Como se puede observar, las proposiciones anteriores son algunas verdaderas otras falsas (¿cuáles son falsas?).

Otra observación que se puede hacer de las proposiciones anteriores ( p₁ a p₁₀ ) es que no y ninguna del tipo:

El cóndor es un ave carroñera y el águila es carnívora

O sea no están unidas por “y”. Pues bien, esto se debe a que esta última aseveración está compuesta de dos proposiciones siendo estas

p: El cóndor es un ave carroñera

q: el águila es un ave carnívora

Definición. Proposición simple o atómica

Proposición simple o atómica, es aquella que está formada por una sola proposición y por lo tanto, no puede descomponerse a su vez en otras proposiciones. Todas las proposiciones mostradas en el ejemplo anterior son proposiciones simples. Más ejemplos:

 “El Cerro Dorotea tiene una altura de 800 m.”

“El lago Grey está en el Parque Nacional Torres del Paine”

Una proposición simple no puede dividirse; no está unida por un “y” o un “o”.

Proposición compuesta o molecular,  son dos o más proposiciones simples que aparecen mediadas por la presencia de alguna clase de conector, por ejemplo “y”.

Otros ejemplos de proposiciones compuestas

“4 es un número par y siete un número impar”

“Vamos al cine y después  vamos a bailar”

“El computador está sin energía y la impresora no funciona”

Una forma de determinar que frases o aseveraciones son proposiciones y cuáles no, es tener presente las funciones del lenguaje. Las funciones del lenguaje se pueden definir como los diferentes objetivos, propósitos y servicios que se le da al lenguaje al momento de comunicarse. Un  breve resumen de ayuda se presenta en la tabla siguiente:

De las funciones del lenguaje listadas, solo las informativas o referenciales pueden constituir una proposición.

Hasta aquí solo hemos utilizado la palabra y para unir proposiciones. Veamos ahora la palabra “o”

En el caso de la palabra que veremos a continuación, sí surgen ambigüedades. Esta palabra es la

“o”

Deseamos ser capaces de aseverar que ocurre el evento A o el evento B. Por ejemplo podríamos querer decir:

“Voy a Punta Arenas o voy a Iquique”

O tal vez quisiéramos decir:

“Está malo el cable o no funciona la impresora”

El uso del “o” es diferente en estas dos aseveraciones. En la primera no es posible que ocurran las dos cosas simultáneamente; no puedo ir a Punta Arenas y a Iquique a la vez. En el segundo ejemplo es  posible que ocurran las dos cosas simultáneamente; que el cable esté malo y que la impresora no funcione.

Pero, en matemáticas, no hay lugar para potenciales ambigüedades como estas en el uso de la palabra “o”.  Es así como debemos elegir uno de los dos significados resultando ser más conveniente optar por el uso inclusivo (el que incluye la ocurrencia de ambos).

En consecuencia, si en matemáticas usamos la palabra “o”,  su significado será el incluyente.  Entonces,  Si  son dos proposiciones,  al expresar “p o q”,  entenderemos que al menos una de ellas es válida. Para denotar el “o” inclusivo, en matemáticas se usa el símbolo \( "\vee "\), en la forma:

$$ p \vee q $$

Para denotar que al menos uno de  es válido;  se cumple p, o se cumple q o se cumplen ambos. En los tres casos diremos que \( p \vee q \) se cumple.

Por ejemplo, la siguiente aseveración (algo absurda) es verdadera:

$$ (3<5)\vee (1=0) $$

Ya que tres es menor que cinco.

Aun cuando este es un ejemplo un tanto raro, hay que hacer una pausa y asegurarse de comprender porqué,  esta aseveración no solo es matemáticamente significativa sino que es verdadera.  Basta que una de las aseveraciones sea verdadera para que, independientemente de lo absurdo que sea la otra, la aseveración conjunta es verdadera.

Ejemplos:

Tatiana estudia o trabaja.

Esta proposición es equivalente a las siguientes dos proposiciones:

p: Tatiana estudia

q: Tatiana trabaja

Lo importante al formalizar una proposición compuesta es interpretarla correctamente. En castellano nosotros no decimos Tatiana estudia o Tatiana trabaja, es decir no repetimos el nombre de Tatiana, pero, en la aseveración, aun cuando no se repite el nombre, es evidente que el hecho de estudiar o trabajar aplica a Tatiana.

Es así como las siguientes proposiciones son equivalentes

Carlos es Abogado o Ingeniero

Carlos es abogado a menos que sea Ingeniero

Carlos es Abogado o bien Ingeniero

Carlos es Abogado a no ser que sea Ingeniero

Carlos es Abogado salvo que sea Ingeniero

Todas se formalizan como:

\[\left. \begin{array}{l}
p:{\rm{Carlos\,\,es\,\,el\,\,Abogado}}\,\,\,\\
q:{\rm{Carlos\,es\,\,Ingeniero}}\,
\end{array} \right\}\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{y}}\,\,\,\,{\rm{podemos\,\ escribir}}\,\,\,\,\,\left( {p \vee q} \right)\]

Otros ejemplos

q₁ : La reunión es hoy o es mañana

q₂ : Voy al cine o voy al teatro

q₃ : Empezaré la dieta o seguiré engordando

q₄ : Va a llover o bien va a nevar

q₅ : Miguel es responsable a menos que Diego también lo sea

q₆ : Estudiaré o dormiré la siesta

La siguiente palabra surge de nuestra necesidad de negar aseveraciones, para establecer que una aseveración particular es falsa. Es así como necesitamos estar seguro de como usar la palabra:

No

Si p es una aseveración:

No-p

Indica que p es una aseveración falsa. Entonces si p es una aseveración verdadera, no-p es una aseveración  falsa y si p es una aseveración falsa, No-p es una aseveración verdadera. Actualmente el símbolo más utilizado para representar la negación, en matemáticas es:

¬

Algunos textos más antiguos también utilizan el símbolo ~

Ejemplos:

Aunque nosotros usamos la palabra “No”, en forma muy común, en la conversación diaria a veces es usada en forma muy liviana.

Por ejemplo considerar la siguiente aseveración:

“Todos los muebles nacionales están mal hechos”

Cuál es la negación de esta sentencia?. Es alguna de las siguientes?

a) Todos los muebles nacionales están bien hecho

b) Todos los muebles nacionales no están mal hechos

c) Al menos un mueble nacional está bien hecho

d) Al menos un mueble nacional no está mal hecho

Un error común de iniciado, es elegir la alternativa a).  Pero es fácil ver que es errónea.  La aseveración original seguramente es falsa. Luego la negación de esta aseveración será verdadera. Pero a), ciertamente no es verdadera. Tampoco b) es verdadera. De esta forma, consideraciones realísticas nos llevan a concluir que si la respuesta correcta debe ser elegida de entre las propuestas en la lista, entonces, debe estar entre la c) y la d). De hecho c) o d) pueden representar la negación de la aseveración original (cualquier mueble nacional bien hecho puede satisfacer la verdad de tanto c)  como d).  Cual, piensa usted, que se acerca más a la negación de la aseveración original?

Nótese que la aseveración original solo se refiere a los muebles nacionales. Entonces su negación solo atañe a los muebles nacionales. Luego la negación no deberá hacer referencia alguna a los muebles extranjeros. Por ejemplo la aseveración:

“Todos los muebles extranjeros están bien hechos”

No puede ser la negación de la sentencia original.  En efecto, conociendo si nuestra aseveración original es verdadera o falsa de ninguna manera  nos ayuda a decidir sobre la veracidad o falsedad de la aseveración anterior. Para estar seguros, extranjero es la negación de nacional, pero nosotros estamos intentando negar la aseveración como un todo y no solo un adjetivo perteneciente a ella.

Por otra parte, no hay posible confusión con la aseveración:

$$\neg \left( {\pi < 3} \right)$$

Está claro que significa

$$\pi \ge 3$$

Hasta ahora hemos considerado tres palabras básicas  y dado su significado preciso: “y” (con símbolo \( \wedge\)) “o”  (símbolo \( \vee \)) y No” (símbolo \(\neg \)).Nos referiremos a estas  operaciones como conjunción, disyunción y negación respectivamente. De esta forma \( p \wedge q \) es la conjunción de las aseveraciones p y q, \(p \vee q \), su disyunción y \( \neg p\) la negoción de p y a los respectivos símbolos \( \wedge\), \( \vee\) y \( \neg\), nos referiremos como “conectores lógicos”.

En la descripción de las proposiciones y los conectores lógicos, en reiteradas ocasiones no referimos a que si eran verdaderas o falsa sin profundizar en el tema. Pues bien llegó el momento de tratarlo.

Definición:  Valor de verdad de una proposición.

Llamaremos valor de verdad de una proposición, a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera, es verdad (V) y el de una falsa, es falso (F).

Así, dada una fórmula cualquiera “p” podemos asignarle un valor de verdad denotado por \(v(p)\):

Si “p” es verdadera \(v(p)=V\), y si es falsa \(v(p)=F\).

Ejemplos:

La forma de determinar la veracidad o falsedad de una proposición es un tema aparte y no será tratada en esta oportunidad. Para asignar el valor de verdad a una proposición se recurrirá al conocimiento o decisión que se tenga o tome en cada proposición particular. En apartados posteriores se hará una breve discusión sobre este tema.

Como se ha señalado anteriormente, las proposiciones que interesan a la lógica son siempre proposiciones enunciativas o aseverativas y por lo tanto serán siempre solo verdaderas o falsas. Por lo tanto, una proposición formalizada por la variable “p”, podrá tener el valor verdadero o falso con sus valores de verdad definidos antes \(v({p}) = V\) si es verdadera  y si es falsa \(v({p}) = F\).

Definición: Tablas de verdad.

Una tabla de verdad  es una representación tabular del valor de una proposición en todas las posibles interpretaciones.

El caso más sencillo es el de una proposición con sus dos posibles valores de verdad y queda como sigue:

Dada esta circunstancia, podemos listar en una tabla, todos los posibles valores de verdad, de una o varias fórmulas atómicas y el valor de verdad de una o varias fórmulas moleculares construidas a partir de las proposiciones atómicas.

Una proposición compuesta constituida por dos fórmulas atómicas \( p\,y\,q\),  tendrá cuatro posibles combinaciones de valores de verdad: ambos valores verdaderos, uno verdadero y el otro falso, uno falso y el otro verdadero, o ambos valores falsos esto es:

La tabla de verdad puede incluir tantas proposiciones \(p,\,q,\,r,\,...\) como sea necesario, cada una listada en su propia columna. La tabla debe tener una fila por cada combinación de valores de verdad de las proposiciones. Si la tabla incluye dos proposiciones deberá tener 4 filas, si incluye 3 variables deberá tener 8 filas, si incluye 4 proposiciones deberá tener 16 filas y así sucesivamente. En general para un número n de proposiciones, el número de combinaciones posibles de sus valores de verdad es \({2^n}\). Luego para tres proposiciones p, q y r se tiene \({2^3 = 8}\) la que se muestra en la tabla siguiente.

Una vez listadas todas las combinaciones de valores de verdad, podemos usar la tabla para calcular los posibles valores de verdad de fórmulas moleculares construidas a partir de las proposiciones, como veremos más adelante.  Para hacer tal cosa, agregamos columnas adicionales con proposiciones que dependen únicamente de las proposiciones a su izquierda. En los casos más sencillos aplicamos solamente una conectiva lógica a las proposiciones como veremos más adelante.

De esta forma, toda tabla de verdad consta de dos tipos de columnas: las columnas de la izquierda (llamadas de referencia)  en donde se pondrán todas las posibilidades de verdad y falsedad de las letras o variables proposicionales, y las columnas de la derecha que contienen los valores de verdad de las operaciones presentes en la fórmula, como veremos a continuación con la opción de los conectores lógicos.

Describiremos a continuación los conectores, negación \( \neg \), disyunción \( \wedge \) y conjunción \( \vee \) y, en términos de sus valores de verdad y los representaremos por sus respectivas tablas de verdad.

(\(\neg \)):

Dada una proposición \(p\), al negarla \(\neg p\) estamos diciendo “no es cierto \(p\)" o cualquier forma de negación del lenguaje natural. Esto asume que si “p” es verdadera, \(\neg p\) es falsa y viceversa.

Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo». La tabla de verdad del conector negación es:

Ejemplo 1

\(p\):"El pasto está verde"	\(v(p)=V\)
\(\neg p\):"El pasto no está verde"	\(v(p)=F\)

Ejemplo 2

\(q\):"Quiero estudiar Ingeniería Eléctrica"	\(v(q)=V\)
\(\neg q\):"No quiero estudiar Ingeniería Eléctrica"	\(v(q)=F\)

Ejemplo 3

\(p\):"El terreno es muy fértil	\(v(p)=V\)
\(\neg p\):"El terreno no es muy fértil"	\(v(p)=F\)

La doble negación de una proposición es la misma proposición:\( \neg \neg p = p\)

Ejemplo 4

Se puede observar en la tabla de verdad que la doble negación de “r” \(\neg \neg r\) es "r"

Es necesario señalar aquí que la doble negación de una proposición “p” en castellano, no siempre es “p”, dado que en nuestro lenguaje natural (el castellano), la doble negación está permitida y se utiliza habitualmente. Por ejemplo, si decimos, ‘no iré nunca’, estamos expresando lo mismo que si decimos ‘nunca iré’.

(\(\wedge \))

Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de componer estas proposiciones con el conectivo lógica “y”. Se denota por el símbolo \( \wedge \), se escribe \(p \wedge q\) y se lee “p y q”.

La conjunción de dos proposiciones lógicas “p” y “q” es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones, a la vez, son verdaderas y falsa en cualquier otro caso.

La tabla de verdad es:

Ejemplo 2

(\( \vee \))

Anteriormente habíamos señalado que la disyunción “o” , tenía dos posibles definiciones la antes definida y aquella que no incluía como verdadera cuando las dos proposiciones eran falsas. Esta última se denomina disyunción exclusiva y tiene una definición  dada su aplicación en situaciones prácticas.

Dadas dos proposiciones p y q, la disjunción exclusiva es el resultado de componer estas proposiciones con el conectivo lógico “o”. Se denota por el símbolo \( "\oplus" \),  se escribe \( p \oplus q\) y se lee "p o q pero no ambos".

Una disyunción exclusiva de dos proposiciones “p” y “q” será verdadera  cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de verdad  sean iguales.

Dicho de otra forma si \(p \oplus q\) es verdad podemos asegurar que una de las dos es verdad y \(p \oplus q\) es falsa podemos decir que ambas tienen el mismo valor de verdad.

Y la tabla de verdad es:

Ejemplo

En este ejemplo es evidente que no pueden ser verdaderas las dos proposiciones por lo tanto el valor de verada de las proposiciones es directo.  Pero en mus casos el valor de verdad de las proposiciones se debe obtener de la interpretación correcta de ellas ya sea por conocimiento, experiencia o acuerdo.

Ejemplo

“Julio comerá carne o solo pescado”

\(p\): Julio comerá pescado

\(q\): Julio comerá carne

La tabla de verdad que representa la proposición compuesta es:

Que indica que comerá solo uno de los dos

En castellano existen otras formas de expresar la negación, la conjunción y la disyunción, de modo que, al formalizar proposiciones y asignar variables proposicionales se debe poner atención para no cometer errores. Las siguientes tablas muestran algunas expresiones comunes para cada una de ellas